Medicinsko fakulteto v Ljubljani je Robert Košak zaključil leta 1996. Tekom študija na je prejel leta 1993 Prešernovo nagrado za znanstveno raziskovalno delo.
Po zaključenem študiju na Medicinski fakulteti se je leta 1997 zaposlil v Kliničnem centru Ljubljana na Ortopedski kliniki, kjer je istega leta pričel z specializacijo iz ortopedije. Leta 2000 je s področja analize obrabe kolčnih endoprotez prejel naziv magister znanosti, leta 2006 iz istega področja tudi naziv doktor znanosti. Leta 2003 je opravil specialistični izpit iz ortopedije. Že tekom specializacije je pokazal zanimanje za hrbtenična obolenja in je že v tem obdobju pričel z izvajanjem hrbteničnih operacij. Po končani specializaciji je nadaljeval delo na Ortopedski kliniki v Ljubljani, na Oddelku za kirurgijo hrbtenice, kjer je bil zaposlen do julija 2018. Trenutno je zaposlen kot strokovni direktor v zasebnem Sanatoriju MD Medicina v Ljubljani, kjer še vedno izvaja le hrbtenične operacije.
Izvaja hrbtenične operacije celotne hrbtenice, od vratne, prsne in ledvene. Ukvarja se s celotno patologijo hrbtenice. Njegovo ožje področje je zdravljenje otroških deformacij hrbtenice (skolioze). Težje deformacije izvaja kot edini hrbtenični kirurg v Sloveniji. Iz tujine je prinesel nekaj novih metod s področja zdravljenja skolioz in jih kot edini v Sloveniji še vedno izvaja. Tako je uvedel prednji pristop zdravljenja skolioz in uvedel Growing rod MAGEC sistem pri zdravljenju skolioz najmlajših otrok. Imel je številna predavanja, objavljenih je bilo tudi več njegovih del.